電子のエネルギー準位（数式による説明）

最も単純な場合、すなわち通常の水素原子で考えます。

これは陽子１個からなる原子核のまわりを、１個の電子が回っているというものです。

簡単のため原子核も電子も点とみなし、両者の間の万有引力は無視して電気的引力だけを考えます。

１個の陽子が持つ正の電荷量と、１個の電子が持つ負の電荷量は同じです。

これをe（既知）とします。

電子の質量をm（既知）、その速度をv、原子核の周りの半径をr、真空の誘電率をε（既知）、円周率をπで表わします。

この時、以下の等式（左辺は遠心力で右辺は電気的引力）が成り立ちます。

m*v*v/r ＝ e**2/(4π*ε*r*r)---＜関係式１＞。

一方、電子が描く円軌道の円周の長さは2π*rです。

またhをプランク定数（既知）とすると、物質波の波長はh/mvとなることがわかっています。

円周の長さがこの波長の自然数倍でなけでばならないので、自然数をnとおくと、2π*r ＝ n*h/m*v---＜関係式２＞。

となることがわかります。

これらからvを消去すると次の関係を得ます。

π*m*r*e*e ＝ ε*h*h*n*n---＜関係式３＞。

つまり許される半径rは、ε*h*h/(π*m*e*e)の１倍、４倍、９倍などです。

これをエネルギーで考えてみましょう。

電子の運動エネルギーはm*v*v/2で与えられます。

一方電子の位置エネルギーは、無限遠において０とすると、－e*e/(4π*ε*r)で与えられます。

その合計をエネルギーＥとし、先ほど求めたvやrを代入すると、以下の式を得ます（p**qはpのq乗の意味）。

Ｅ ＝ －m*e**4/(8*ε*ε*h*h*n*n)---＜関係式４＞。

なお、既知の値はそれぞれ以下の通りです。

・e＝1.6*10**(-19)クーロン
・m＝9.1*10**(-31)キログラム
・ε＝8.9*10**(-12)ファラッド／メートル
・h＝6.6*10**(-34)ジュール秒